如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．探究一：猜想：四边形ABCD是何种特殊的四边形？请证明自己的猜想．探

Question

如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
探究一：猜想：四边形ABCD是何种特殊的四边形？请证明自己的猜想．
探究二：连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段 MN²、ND²、DH²之间的数量关系，并说明理由．
探究三：若EG=4，GF=6，BM=3√(2)，你能求出AG、MN的长吗？

Answer 1

探究一：证明：如图，∵AG⊥EF，
∴∠AGE=90°．
∵△AEB由△AED翻折而成，
∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，
同理，得∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，
∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，
∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形；

探究二：MN²=ND²+DH²，
理由：连接NH，
∵△ADH由△ABM旋转而成，
∴△ABM≌△ADH，
∴AM=AH，BM=DH，
∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ADH=∠ABD=45°，
∴∠NDH=90°，
∵在△AMN与△AHN中

AM＝AH

∠EAF＝∠NAH

AN＝AN

，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN=NH，
∴MN²=ND²+DH²；

探究三：由（1）知，四边形ABCD是正方形，则AB=BC=CD．
由折叠的性质知BE=EG，DF=GF．
设AG=BC=x，则EC=x-4，CF=x-6，
∵在Rt△ECF中，CE²+CF²=EF²，即（x-4）²+（x-6）²=100，x₁=12，x₂=-2（舍去）
∴AG=12，
∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，
∴BD=√(AB2+AD2)=12√(2)，
∵BM=3√(2)，
∴MD=BD-BM=12√(2)-3√(2)=9