直线y=33x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙M为△AOB的外接圆．点C是劣弧上一动点（不与A，O重合）（1）求⊙M的面积．（2）连接BC交AO于点D，延长BC到点E，使DE=2，试探究，当点C运动到何处时

Question

直线y=(√(3))/(3)x+√(3)与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙M为△AOB的外接圆．点C是劣弧上一动点（不与A，O重合）
（1）求⊙M的面积．
（2）连接BC交AO于点D，延长BC到点E，使DE=2，试探究，当点C运动到何处时，直线AE与⊙M相切，并说明理由．

Answer 1

（1）对于y=(√(3))/(3)x+√(3)中，令x=0，y=√(3)；令y=0，x=-3，
∴A（-3，0），B（0，√(3)），
∵⊙M经过点A，O，B，且∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径．
AB=2√(3)，半径为√(3)，
S=3π；

（2）当C运动到劣弧AO的中点时，直线AE与⊙M相切．
证明：∵在RT△AOB中，OB=(1)/(2)AB，
∴∠ABO=60°，∠BAO=30°，
∵点C是劣弧AO的中点，
∴

AC

＝

CO

，
∴∠ABD=∠CBO=30°，
∴OD=OBtan30°=1，∠BDO=60°，
∴△EAD中，AD=3-1=2，∠ADE=∠BDO=60°，
∵DE=2，
∴△EAD为等边三角形，
∴∠EAD=60°，
∴∠BAE=30°+60°=90°，
∴AB⊥AE，
∴AE为⊙M的切线．