已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0．又f（xy）=f（x）+f（y）．（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在定义域上是单调增函数；（3）如果f(13)=-1，求满足不等式−f(1x

Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0．又f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在定义域上是单调增函数；
（3）如果f((1)/(3))=-1，求满足不等式−f((1)/(x−2))≥2的x的取值范围．

Answer 1

（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
（2）设x₂＞x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=f（(x2)/(x1)•x₁）-f（x₁）=f（(x2)/(x1)）+f（x₁）-f（x₁）=f（(x2)/(x1)），
∵(x2)/(x1)＞1，
∴f（(x2)/(x1)）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定义域上是增函数；
（3）∵f（(1)/(3)）=f（1）-f（3）=-f（3）=-1，
∴f（3）=1，
∴f（9）=f（3）+f（3）=2，
令y=(1)/(x)，得f（1）=f（x）+f（(1)/(x)）=0，
∴f（(1)/(x)）=-f（x），
∴-f（(1)/(x−2)）=f（1）-f（(1)/(x−2)）=f（x-2）≥2=f（9），f（x）在定义域上是增函数，
∴x-2≥9，
解得：x≥11．
∴x的取值范围为[11，+∞）．