已知{an}满足an+1=2an+3×5^na1=6,求数列an的通项公式

Question

已知{an}满足an+1=2an+3×5^n a1=6,求数列an的通项公式

Answer 1

如果我没理解错你的题意是a(n+1)=2an+3*5^n
待定函数法：（思想同待定系数,只不过这个系数变成了一个关于n的函数）
设 a(n+1)+f(n+1)=2(an+f(n))
上式打开a(n+1)=2an+( 2f(n)-f(n+1))
因此 2f(n)-f(n+1) = 3*5^n
现在我们的目标就是找出f(n)的表达式
由观察可知表达式中一定有5^n ,并且它前边有一个系数,我们不妨设这个系数为x
那么得到 2x*5^n-x5^(n+1)=3*5^n
上式打开 2x*5^n-5x*5^n=3*5^n
解得x=-1
所以f(n)=-5^n
那么a(n+1)+f(n+1)=2(an+f(n))把f(n)代入其中得到
a(n+1)-5^(n+1) = 2(an-5^n)
移项构造等比数列：[a(n+1)-5^(n+1)]/[an-5^n]=2
在此设bn=an-5^n 那么上式转化为b(n+1)/bn=2 很明显的一个等比数列
b1=a1-5^1 = 1
等比数列公式代入 bn= 2^n-1
即an-5^n=2^n-1
整理得到an=5^n+2^n-1
完毕