各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2=4，a2n+1=6Sn+9n+1，n∈N*，各项均为正数的等比数列{bn}满足b1=a1，b3=a2．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=（3n-2）•bn，数列{cn}的前

Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₂=4，a

2

n+1

=6S_n+9n+1，n∈N*，各项均为正数的等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₃=a₂．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=（3n-2）•b_n，数列{c_n}的前n项和为T_n．
①求T_n；
②若对任意n≥2，n∈N*，均有（T_n-5）m≥6n²-31n+35恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为

a

2 n+1

=6S_n+9n+1，
所以

a

2 n

=6S_n-1+9（n-1）+1（n≥2），
两式相减得：

a

2 n+1

-

a

2 n

=6a_n+9，
即

a

2 n+1

=(an+3)2（n≥2），
又因为数列{a_n}的各项均为正数，
所以a_n+1=a_n+3（n≥2），
又因为a₂=4，4²=6a₁+9+1，即a₁=1，
所以当n=1时上式成立，即数列{a_n}是首项为1、公差为3的等差数列，
所以a_n=1+3（n-1）=3n-2；
因为b₁=a₁=1，b₃=a₂=4，
所以b_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知c_n=（3n-2）•b_n=（3n-2）•2^n-1．
①T_n=1•2⁰+4•2¹+…+（3n-2）•2^n-1，
2T_n=1•2¹+4•2²+…+（3n-5）•2^n-1+（3n-2）•2ⁿ，
两式相减，得：-T_n=1+3（2¹+2²+…+2^n-1）-（3n-2）•2ⁿ=1+6（2^n-1-1）-（3n-2）•2ⁿ，
所以T_n=（3n-5）•2ⁿ+5；
②由①可知若对任意n≥2，n∈N*，均有（T_n-5）m≥6n²-31n+35恒成立，
等价于（3n-5）•2ⁿ•m≥6n²-31n+35恒成立，
所以m≥(6n2-31n+35)/((3n-5)•2n)=((3n-5)(2n-7))/((3n-5)•2n)=(2n-7)/(2n)，即m≥(2n-7)/(2n)恒成立，
设k_n=(2n-7)/(2n)，则k_n+1-k_n=(2n-5)/(2n+1)-(2n-7)/(2n)=(9-2n)/(2n+1)，
所以当n≤4时k_n+1>k_n，当n>4时k_n+1<k_n，
所以当k_n的最大值为k₅=(3)/(32)，故m≥(3)/(32)，
即实数m的取值范围是：[(3)/(32)，+∞）．