各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，且4Sn=a2n+2an+1，n∈N+．（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知公比为q（q∈N+）的等比数列{bn}满足b1=a1，且存在m∈N+满足bm=am，bm+1=am+3，求数列{bn}的通项公

Question

各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，且4S_n=

a

2 n

+2a_n+1，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知公比为q（q∈N₊）的等比数列{b_n}满足b₁=a₁，且存在m∈N₊满足b_m=a_m，b_m+1=a_m+3，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

（1）∵4S_n=

a

2 n

+2a_n+1，∴4S_n+1=

a

2 n+1

+2a_n+1+1，
两式相减得：4a_n+1=

a

2 n+1

-

a

2 n

+2a_n+1-2a_n，…（2分）
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
∵数列{a_n}各项均为正数
∴a_n+1-a_n=2，…（4分）
∴数列{a_n}为首项为1，公差为2的等差数列，
故a_n=2n-1…（6分）
（2）bn＝qn−1，依题意得

qm−1＝2m−1

qm＝2m+5

，相除得q＝(2m+5)/(2m−1)=1+(6)/(2m−1)∈N₊，…（8分）
∴2m-1=1或2m-1=3，代入上式得q=3或q=7，…（10分）
∴bn＝7n−1或bn＝3n−1．…（12分）