已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=-2f（x+1），且在区间[0，1]上，有表达式f（x）=x2．（1）求f（-1），f（1.5）；（2）写出f（x）在区间[-2，2]上的表达式．

Question

已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=-2f（x+1），且在区间[0，1]上，有表达式f（x）=x²．
（1）求f（-1），f（1.5）；
（2）写出f（x）在区间[-2，2]上的表达式．

Answer 1

（1）∵f（x）=-2f（x+1），
∴f（-1）=-2f（0）=-2×0=0，
f（1.5）=f（1+0.5）=-(1)/(2)f（0.5）=-(1)/(2)×0.5²=-(1)/(8)，
（2）当x∈[-2，-1]时，（x+1+1）∈[0，1]；
∴f（x）=-2f（x+1）=4f（x+2）=4（x+2）²；
当x∈（-1，0）时，（x+1）∈（0，1）；
∴f（x）=-2f（x+1）=-2（x+2）²；
当x∈[0，1]时，f（x）=x²；
当x∈（1，2]时，（x-1）∈（0，1]；
f（x）=f（x-1+1）=-(1)/(2)f（x-1）=-(1)/(2)（x-1）²，
∴f（x）=

4(x+2)2，x∈[-2，-1]

-2(x+1)2，x∈(-1，0)

x2，x∈[0，1]

-(1)/(2)(x-1)2，x∈(1，2]

．