a,b,c大于0.求证:(a+b+c)/3≥三次根号下abc.

Question

a,b,c大于0.求证:(a+b+c)/3≥三次根号下abc.

Answer 1

证明一:令a=x^3,b=y^3,c=z^3.
因为 x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
=(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)62+(z-x)^2]/2>=0,
所以 x^3+y^3+z^3>=3xyz,
即 (a+b+c)/3≥(abc)^(1/3).
证明二:先证两个数的情形;
(a+b)/2>=√(ab).(1)
(1)(√a-√b)^2>=0(显然成立)
再证四个数的情形;
(a+b+c+d)/4>=(abcd)^(1/4) (2)
反复应用(1)得
(a+b+c+d)/4=[(a+b)/2+(c+d)/2]/2
>=(√(ab)+√(cd))/2>=√[√(ab)√(cd)]
=(abcd)^(1/4).
最后证三个数的情形;
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3).
在(2)中取d=(a+b+c)/3,得
(a+b+c+(a+b+c)/3)/4>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4) ,
即(a+b+c)/3>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4),
两边4次方,并约去(a+b+c)/3得
[(a+b+c)/3]^3>=abc,
两边开立方,得
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)