在△ABC中，BA=BC，BD为△ABC的中线，△ABC的角平分线AE交BD于点F，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点G．（1）如图1，若∠ABC=60°，请直接写出线段AF，EG间的数量关系：AF=32EGAF=32EG；（2）如图2

Question

在△ABC中，BA=BC，BD为△ABC的中线，△ABC的角平分线AE交BD于点F，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点G．
（1）如图1，若∠ABC=60°，请直接写出线段AF，EG间的数量关系：

AF=(3)/(2)EG

AF=(3)/(2)EG

；
（2）如图2，若∠ABC=90°，求证：EG=2AF；
（3）在（2）的条件下，如图3，在∠FAC的外部作∠CAH，使∠CAH=(1)/(3)∠FAC，过点B作BM∥AC交AG于点M，点N在AH上，连接MN，BN，若∠BMN与∠EAH互余，△ABC的面积为18，求BN的长．

Answer 1

（1）∵BA=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
设DF=a，
∵BD为△ABC的中线，AE为△ABC的角平分线，
∴AF=2a，EF=a，
∵CG∥AB，
∴∠G=∠CAE=∠CAE=30°，
∴GE=AE=AF+EF=2a+a=3a，
∴AF=(3)/(2)EG；
故答案为：AF=(3)/(2)EG．

（2）证明：取EG的中点P，连接CF、CP，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AF=CF，
∵AF是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠FAC=22.5°，
∴∠CFP=45°，
∵CG∥AB，
∴∠ECG=∠ABC=90°，
∴CP=GP=(1)/(2)EG，
∵CG∥AB，
∴∠G=∠BAE=22.5°，
∴∠CPF=45°，
∴CF=CP，
∴AF=(1)/(2)EG，
故EG=2AF；

（3）过点B作BK⊥AM于K，过点M作ML⊥AH于H，
∵∠CAH=(1)/(3)∠FAC，
∴∠EAH=22.5°+(1)/(3)×22.5°=30°，
∴∠AML=90°-30°=60°，
∵∠BMN与∠EAH互余，
∴∠BMN=90°-30°=60°，
∴∠BMK=∠NML，
∵AE是△ABC的平分线，CG∥AB，
∴∠BAE=∠BME=(1)/(2)×45°=22.5°，
∴AB=BM，
∴MK=(1)/(2)AM，
∵∠MAH=30°，ML⊥AH，
∴MH=(1)/(2)AM，
∴MK=ML，
在△BMK和△NML中，

∠BMK＝∠NML

MK＝ML

∠BKM＝∠NLM＝90°

，
∴△BMK≌△NML（ASA），
∴MN=BM，
∴MN=AB，
∵△ABC的面积为18，
∴(1)/(2)AB²=18，
∴AB=6，
∵∠BMN=60°，BM=MN，
∴△BMN是等边三角形，
∴BN=MN=6．