如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N．证明：∠AFN=∠DME．

Question

如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N．
证明：∠AFN=∠DME．

Answer 1

设MN与EF交于点P．
∵NE∥BC，
∴△PNE∽△PBC，
∴(PN)/(PB)＝(PE)/(PC)，
∴PB•PE=PN•PC．
又∵ME∥BF，
∴△PME∽△PBF，
∴(PM)/(PB)＝(PE)/(PF)，
∴PB•PE=PM•PF．
∴PN•PC=PM•PF，
故(PM)/(PN)＝(PC)/(PF)，
又∠FPN=∠MPE，
∴△PNF∽△PMC，
∴∠PNF=∠PMC，
∴NF∥MC，
∴∠ANF=∠EDM．
又∵ME∥BF，
∴∠FAN=∠MED，
∴∠ANF+∠FAN=∠EDM+∠MED，
∴∠AFN=∠DME．