（2014•深圳）如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD

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（2014•深圳）如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．
（1）求⊙M的半径；
（2）证明：BD为⊙M的切线；
（3）在直线MC上找一点P，使|DP-AP|最大．

▼优质解答

答案和解析

（1

）∵由题意可得出：OA²+OB²=AB²，AO=4，BO=3，
∴AB=5，
∴圆的半径为

；

（2）证明：由题意可得出：M（2，

）
又∵C为劣弧AO的中点，由垂径定理且 MC=

，故 C（2，-1）
过 D 作 DH⊥x 轴于 H，设 MC 与 x 轴交于 K，
则△ACK∽△ADH，
又∵DC=4AC，
故 DH=5KC=5，HA=5KA=10，
∴D（-6，-5）
设直线AB表达式为：y=ax+b，

4k+b＝0

b＝3

，
解得：

k＝−

b＝3

故直线AB表达式为：y=-

x+3，
同理可得：根据B，D两点求出BD的表达式为y=

x+3，
∵k_AB×k_BD=-1，
∴BD⊥AB，BD为⊙M的切线；

（3）取点A关于直线MC的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，
此P点为所求，且线段DO的长为|DP-AP|的最大值；
设直线DO表达式为 y=kx，
∴-5=-6k，
解得：k=

，
∴直线DO表达式为 y=

x
又∵在直线DO上的点P的横坐标为2，y=

，
∴P（2，

），
此时|DP-AP|=DO=