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如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，点E是弧BD上一点，EF⊥AD于点F，且EF是⊙O的切线．（1）求证：弧DE=弧BE；（2）连接BE，若tan∠DAB=125，求tan∠B的值．

题目详情
如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，点E是弧BD上一点，EF⊥AD于点F，且EF是⊙O的切线．
（1）求证：弧DE=弧BE；
（2）连接BE，若tan∠DAB=
12
5
，求tan∠B的值．

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，求tan∠B的值．
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5
121255
▼优质解答
答案和解析
（1）如图，连接OD、OE．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∵AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF．
又∵EF⊥AD于点F，
∴AF∥OE，
∴∠1=∠5，∠2=∠4，
∴∠5=∠4，
∴弧DE=弧BE；

（2）连接BD，AE，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵直角△ABD中，tan∠DAB=
BD
AD
=
12
5
，
∴设BD=12a，则AD=5a，
则直径AB=
AD2+BD2
=13a，
∵弧DE=弧BE；
∴BM=
1
2
BD=6a，OE⊥BD，
∴在直角△OBM中，OM=
OB2−BM2
=
(6.5a)2−(6a)2
=
5
2
a，
∴ME=OE-OM=6.5a-
5
2
a=4a，
在直角△BEM中，BE=
ME2+MB2
=
(4a)2+(6a)2
=2
13
a，
在直角△ABE中，AE=
AB2−BE2
=
(13a)2−52a2
=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
BD
AD
BDBDBDADADAD=
12
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，
∴设BD=12a，则AD=5a，
则直径AB=
AD2+BD2
=13a，
∵弧DE=弧BE；
∴BM=
1
2
BD=6a，OE⊥BD，
∴在直角△OBM中，OM=
OB2−BM2
=
(6.5a)2−(6a)2
=
5
2
a，
∴ME=OE-OM=6.5a-
5
2
a=4a，
在直角△BEM中，BE=
ME2+MB2
=
(4a)2+(6a)2
=2
13
a，
在直角△ABE中，AE=
AB2−BE2
=
(13a)2−52a2
=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
12
5
121212555，
∴设BD=12a，则AD=5a，
则直径AB=
AD2+BD2
=13a，
∵弧DE=弧BE；
∴BM=
1
2
BD=6a，OE⊥BD，
∴在直角△OBM中，OM=
OB2−BM2
=
(6.5a)2−(6a)2
=
5
2
a，
∴ME=OE-OM=6.5a-
5
2
a=4a，
在直角△BEM中，BE=
ME2+MB2
=
(4a)2+(6a)2
=2
13
a，
在直角△ABE中，AE=
AB2−BE2
=
(13a)2−52a2
=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
AD2+BD2
AD2+BD2
AD2+BD2AD2+BD22+BD22=13a，
∵弧DE=弧BE；
∴BM=
1
2
BD=6a，OE⊥BD，
∴在直角△OBM中，OM=
OB2−BM2
=
(6.5a)2−(6a)2
=
5
2
a，
∴ME=OE-OM=6.5a-
5
2
a=4a，
在直角△BEM中，BE=
ME2+MB2
=
(4a)2+(6a)2
=2
13
a，
在直角△ABE中，AE=
AB2−BE2
=
(13a)2−52a2
=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
1
2
111222BD=6a，OE⊥BD，
∴在直角△OBM中，OM=
OB2−BM2
=
(6.5a)2−(6a)2
=
5
2
a，
∴ME=OE-OM=6.5a-
5
2
a=4a，
在直角△BEM中，BE=
ME2+MB2
=
(4a)2+(6a)2
=2
13
a，
在直角△ABE中，AE=
AB2−BE2
=
(13a)2−52a2
=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
OB2−BM2
OB2−BM2
OB2−BM2OB2−BM22−BM22=
(6.5a)2−(6a)2
=
5
2
a，
∴ME=OE-OM=6.5a-
5
2
a=4a，
在直角△BEM中，BE=
ME2+MB2
=
(4a)2+(6a)2
=2
13
a，
在直角△ABE中，AE=
AB2−BE2
=
(13a)2−52a2
=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
(6.5a)2−(6a)2
(6.5a)2−(6a)2
(6.5a)2−(6a)2(6.5a)2−(6a)22−(6a)22=
5
2
a，
∴ME=OE-OM=6.5a-
5
2
a=4a，
在直角△BEM中，BE=
ME2+MB2
=
(4a)2+(6a)2
=2
13
a，
在直角△ABE中，AE=
AB2−BE2
=
(13a)2−52a2
=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
5
2
555222a，
∴ME=OE-OM=6.5a-
5
2
a=4a，
在直角△BEM中，BE=
ME2+MB2
=
(4a)2+(6a)2
=2
13
a，
在直角△ABE中，AE=
AB2−BE2
=
(13a)2−52a2
=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
5
2
555222a=4a，
在直角△BEM中，BE=
ME2+MB2
=
(4a)2+(6a)2
=2
13
a，
在直角△ABE中，AE=
AB2−BE2
=
(13a)2−52a2
=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
ME2+MB2
ME2+MB2
ME2+MB2ME2+MB22+MB22=
(4a)2+(6a)2
=2
13
a，
在直角△ABE中，AE=
AB2−BE2
=
(13a)2−52a2
=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
(4a)2+(6a)2
(4a)2+(6a)2
(4a)2+(6a)2(4a)2+(6a)22+(6a)22=2
13
a，
在直角△ABE中，AE=
AB2−BE2
=
(13a)2−52a2
=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
13
13
1313a，
在直角△ABE中，AE=
AB2−BE2
=
(13a)2−52a2
=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
AB2−BE2
AB2−BE2
AB2−BE2AB2−BE22−BE22=
(13a)2−52a2
=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
(13a)2−52a2
(13a)2−52a2
(13a)2−52a2(13a)2−52a22−52a22=
117
a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
117
117
117117a，
∴tan∠B=
AE
BE
=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
AE
BE
AEAEAEBEBEBE=
117
a
2
13
a
=
3
2
．
117
a
2
13
a
117
a
117
a
117
117
117117a2
13
a2
13
a2
13
13
1313a=
3
2
．
3
2
333222．
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