在半圆O中，AB为直径，弦AD、BC交于E，连接CD，∠C+2∠D=90°．（1）如图1，求证：弧AC=弧CD；（2）如图2，点F为劣弧BD上一点，连接OF交BC于G，连接BF，若∠CBF=45°，求证：BG=EG；（3）如图3，在

Question

在半圆O中，AB为直径，弦AD、BC交于E，连接CD，∠C+2∠D=90°．

（1）如图1，求证：弧AC=弧CD；
（2）如图2，点F为劣弧BD上一点，连接OF交BC于G，连接BF，若∠CBF=45°，求证：BG=EG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG并延长与 O相交于点H，连接DH，若HG=5，DH=9，求线段BE的长度．

Answer 1

（1）连接BD，
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠C+2∠D=90°，∠A=∠C，
∴∠ABD=2∠ADC，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ABC=∠CBD，
∴

AC

=

CD

；

（2）连接OC，
∵∠CBF=45°，
∴∠COF=90°，
∵

AC

=

CD

，
∴OC⊥AD，
∴AD∥OF，
∵AO=BO，
∴BG=EG；

（3）连接BD，DG，作GM⊥DH于M，
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BG=EG，
∴DG=BG，
∵∠GDM=∠GDB+∠BDH，∠BGH=∠GBA+∠HAB，
∵∠BDH=∠BAH，∠GDB=∠GBD，
∴∠GDM=∠BGH，
在△DGM与△BGH中，

∠DNG=∠GHB=90°

∠GDM=∠BGH

DG=BG

，
∴△DGM≌△BGH，
∴DM=HG，
∵HG=5，DH=9，
∴MH=4，
∴MG=√(GH2-MH2)=3，
∴DG=√(DM2+MG2)=√(34)，
∴BG=DG=√(34)，
∴BE=2BG=2√(34)．