设f（x），g（x）是区间I上的有界且一致连续的函数，求证：f（x）g（x）在I上一致连续．

Question

设f（x），g（x）是区间I上的有界且一致连续的函数，求证：f（x）g（x）在I上一致连续．

Answer 1

证明：由于f（x），g（x）在区间I上有界，存在M>0，
使得|f（x）|≤M，|g（x）|≤M，x∈I；
再由f（x），g（x）得一致连续性得到，
对于任意ε>0，存在δ>0，
使得当x，y∈I，|x-y|有|f（x）-f（y）|从而|f（x）g（x）-f（y）g（y）|=|f（x）g（x）-f（x）g（y）+f（x）g（y）-f（y）g（y）|
≤|f（x）||g（x）-g（y）|+|f（x）-f（y）||g（y）|≤2Mε，
即可得到f（x）g（x）在区间I上一致连续．
所以得证．