如图BB1，CC1，DD1均垂直于正方形AB1C1D1所在平面A、B、C、D四点共面．（I）求证：四边形ABCD为平行四边形；（II）若E，F分别为AB1，D1C1上的点，AB1=CC1=2BB1=4，AE=D1F=1．（i）求证：CD丄平面DEF；（

Question

如图BB₁，CC₁，DD₁均垂直于正方形AB₁C₁D₁所在平面A、B、C、D四点共面．
（I）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（II）若E，F分别为AB₁，D₁C₁上的点，AB₁=CC₁=2BB₁=4，AE=D₁F=1．
（i）求证：CD丄平面DEF；
（ii）求二面角D-EC₁-D₁的余弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵BB₁⊥面ABCD，CC₁⊥面ABCD，
∴BB₁∥CC₁，又AB₁∥D₁C₁，AB₁，BB₁是面ABB₁内两相交直线，
D₁C₁，CC₁是面CC₁，D₁D内两相交直线，
∴面ABB₁∥面CC₁D₁D，
同理，面ADD₁∥面BB₁C₁C，
∵A、B、C、D四点共面，故AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
（Ⅱ）（i）由题意，EF⊥平面CC₁D₁D，∴EF⊥CD，
∵AD=BC，AB₁=CC₁=2BB₁=4，AE=D₁F=1．
∴DD₁=2，DF=√(5)，CF=5，CD=AB=2√(5)，
∴DF²+DC²=FC²，∴CD⊥DF，
∵CD⊥EF，DF∩EF=F，∴CD⊥平面DEF．
（ii）过点D₁作D₁H⊥EC₁于点H，连结DH，
∵DD₁⊥平面AB₁C₁D₁，故DH⊥EC₁，
∴∠DHD₁是二面角D-EC₁-D₁的平面角，
在正方形AB₁C₁D₁中，sin∠D₁C₁E=(4)/(5)，
D₁H=D₁C₁，•sin∠D₁C₁E=4×(4)/(5)=(16)/(5)，
在Rt△DD₁H中，∵DD₁=2，∴tan∠DHD₁=(5)/(8)，
∴cos∠DHD1=(8√(89))/(89)，
∴二面角D-EC₁-D₁的余弦值为(8√(89))/(89)．