叙述致密性定理并用其证明有界性定理:若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]有界.

Question

叙述致密性定理并用其证明有界性定理:若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]有界.

Answer 1

致密性定理是说,任何有界无穷序列都有收敛子列.下面用反证法证明有界性定理,假设f在[a,b]上无界,则根据无界的定义,存在序列xn属于[a,b],使得limf(xn)=∞,而序列xn包含在[a,b]内所以是有界的,根据致密性定理,存在xn的子序列xnk,使得lim(xnk)=x0存在,又因为f在x0处连续,故根据连续性的序列定义,有limf(xnk)=f(x0),这与imf(xn)=∞矛盾（因为f(xn)作为无穷大序列,其任意子列都是无穷大序列,不可能有收敛子列f(xnk).