关于极限等价当X->0+时,cos(x^2)等价于1不应该是等价于x^2么?还是是因为X->0+不是取向于0的问题?

Question

关于极限等价
当X->0+时,cos(x^2) 等价于 1 不应该是等价于x^2么?还是是因为X->0+不是取向于0的问题?

Answer 1

当x→0时,常用的等价无穷小有如下：
sinx~tanx~(e^x-1)~ln(1+x)
(1-cosx)~(1/2)x^2
[(1+x)^a-1]~ax
(x-sinx)~(1/6)x^3
以上是较为常用的代换.
如何确定是否该使用等价代换：
当X->0+或X->0或X->0-时,如果需要代换的部分（用f(x)表示）f(x)→0,那么f(x)就可以进行对应的代换.
一般来说,只有当f(x)作为所求表达式的一个因子的时候,可以用相应代换；那么特殊的情况下,f(x)与所求表达式是加减关系时,不一定不能用代换,但是加减关系用代换的错误率极大,一般初学高等数学的同学无法准确把握,建议加减不用代换.
另：代换中更一般的处理：
当x→0时,f(x)→0,那么有如下：
sinf(x)~f(x)~tanf(x)~(e^f(x)-1)~ln(1+f(x))
(1-cosf(x))~(1/2)[f(x)]^2
[(1+f(x))^a-1]~af(x)
(f(x)-sinf(x))~(1/6)f(x)^3
具体你的问题：
一般在求解极限时,要每做一步都要看看有没有极限是常数的因子；cos(x^2) 就是极限为1的因子,应该果断将其拿到极限号外,将表达式简化,再继续向下做.