求极限的问题当x取向于o时,lim[x－ln(1＋x)]／xln(1＋x)等于多少?答案是1／2,但是我算出来是1呀1／2我已经求得，是用等价无穷小ln(1+x)≈x做的。但是为什么不用等价无穷小做的话，直接用洛必达

Question

求极限的问题
当x取向于o时,lim[x－ln(1＋x)]／xln(1＋x)等于多少?答案是1／2,但是我算出来是1呀
1／2我已经求得，是用等价无穷小ln(1+x)≈x做的。但是为什么不用等价无穷小做的话，直接用洛必达法则求上下的导数，
最后会出现[x／(1+x)]／[x／(1+x)]＝1的情况，我觉得也没错啊o(╯□╰)o

Answer 1

直接用洛必达法则求上下的导数,
得到
lim(x->0) [x - ln(1+x)] / xln(1+x)
= lim(x->0) [1 -1/(1+x)] / [ln(1+x) + x/(1+x)]
这个时候是不可以把x=0代入到ln(1+x),把分子分母都变成x/(1+x)的,
显然此时分子分母在x趋于0时,也都是趋于0的,
但是不能随便就进行代换,特别是在相加的时候,
这样来想,2x=x + x 难道可以把其中一个x看成0,直接代换成x的么?
而且要是ln(1+x)可以代入x=0,为什么x/(1+x)不可以呢?
一定注意,求极限在加减的时候不要随便代换
做到这一步之后
lim(x->0) [1 -1/(1+x)] / [ln(1+x) + x/(1+x)] 分子分母同时乘以1+x
=lim(x->0) x / [(1+x)*ln(1+x) + x] 再对分子分母同时求导
=lim(x->0) 1 / [(1+x)* 1/(1+x) + ln(1+x) +1]
=lim(x->0) 1 / [2 + ln(1+x)] 这时代入x=0,
= 1/2
当然还是用等价无穷小比较简单的,
lim(x->0) [x - ln(1+x)] / xln(1+x) 把分母的ln(1+x)代换成x
= lim(x->0) [x - ln(1+x)] / x^2 对分子分母同时求导
= lim(x->0) [1 -1/(1+x)] / 2x
= lim(x->0) x/(1+x) / 2x
=lim(x->0) 1/ 2(1+x)
= 1/2