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一．设＆为欧几里得空间的正交边换,证明：＆的不变子空间的补空间也是＆的不变子空间．
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一．设＆为欧几里得空间的正交边换,证明：＆的不变子空间的补空间也是＆的不变子空间．
▼优质解答
答案和解析
设W是＆的任意一个不变子空间,ε1,ε2,.,εm是W的一组标准正交基,把它扩充成＆的一组标准正交基ε1,ε2,.,εm,εm+1,.,εn .
于是W＝L(ε1,ε2,.,εm),W┻＝L(εm,.,εn).
又因为＆为欧几里得空间的正交边换,
所以＆(ε1),＆（ε2）,.,＆（εn）也标准正交基.
而W是＆的任不变子空间,
所以＆(ε1),＆（ε2）,.,＆（εm）也是W的一组标准正交基,
另外＆(εm+1),.,＆（εn）∈W┻,
（因为＆(ε1),＆（ε2）,.,＆（εm）是W的正交基）
于是对于任意的α＝(am+1εm+1)+(am+2εm+2)+.+(anεn)∈W┻,
有＆α＝＆(am+1εm+1)+＆(am+2εm+2)+.+＆(anεn)∈W┻,
所以W┻是＆的不变子空间.
于是W＝L(ε1,ε2,.,εm),W┻＝L(εm,.,εn).
又因为＆为欧几里得空间的正交边换,
所以＆(ε1),＆（ε2）,.,＆（εn）也标准正交基.
而W是＆的任不变子空间,
所以＆(ε1),＆（ε2）,.,＆（εm）也是W的一组标准正交基,
另外＆(εm+1),.,＆（εn）∈W┻,
（因为＆(ε1),＆（ε2）,.,＆（εm）是W的正交基）
于是对于任意的α＝(am+1εm+1)+(am+2εm+2)+.+(anεn)∈W┻,
有＆α＝＆(am+1εm+1)+＆(am+2εm+2)+.+＆(anεn)∈W┻,
所以W┻是＆的不变子空间.
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