证对任意的n阶矩阵A,必有n阶矩阵B和C,使A=B+C,并且B=B^T,C=-C^T.

Question

证对任意的n阶矩阵A,必有n阶矩阵B和C,使A=B+C,并且B=B^T,C=-C^T.

Answer 1

这一题要用逆向思维：
先假设A=B+C成立,则A^T=B^T+C^T=B-C
那么由方程组
A=B+C
A^T=B-C
得
B=(A+A^T)/2
C=(A-A^T)/2..思路分析完毕
证明：
设B=(A+A^T)/2 ,C=(A-A^T)/2
则A=B+C并且B=B^T,C=-C^T
其实这一题跟高中的一道题很像：
任何一个函数都可以写成一个偶函数和奇函数之和
方法都是构造法.