线性代数1.设A,B为n阶对称阵且B可逆,则下列矩阵中为对称阵的是（）a:AB^(-1)-B^(-1)Ab:AB^(-1)+B^(-1)c,B^(-1)ABd,(AB)^22.设A,B都是对称阵,且AB+E及A都可逆,证明：（AB+E)^(-1)A为可逆的对称阵.

Question

线性代数
1.设A,B为n阶对称阵且B可逆,则下列矩阵中为对称阵的是（） a:AB^(-1) -B^(-1)A b:AB^(-1)+B^(-1) c,B^(-1)AB d,(AB)^2
2.设A,B都是对称阵,且AB+E及A都可逆,证明：（AB+E)^(-1)A为可逆的对称阵.

Answer 1

1.都不是
如果(b) 改为 AB^(-1)+B^(-1)A 它就是对称的了.是不是题目有误.
2.首先,可逆矩阵的积仍可逆,所以(AB+E)^(-1)A可逆.
又因为 (AB+E)^(-1)A = [A(B+A^(-1))]^(-1)A = (B+A^(-1))^(-1)A^(-1)A = (B+A^(-1))^(-1)
所以 [(AB+E)^(-1)A] '
= [ (B+A^(-1))^(-1) ]'
= (B'+A'^(-1))^(-1)
= (B+A^(-1))^(-1)
= (AB+E)^(-1)A
所以 (AB+E)^(-1)A 是可逆的对称矩阵.