设A，B为正定矩阵，试证明|A+B|≥|A|+|B|。

Question

设A，B为正定矩阵，试证明|A+B|≥|A|+|B|。

Answer 1

可以证明这里总是严格不等式，不会取等号，除非矩阵是1阶的
首先，存在可逆阵C使得A=CC^T，再令D=C^{-1}BC^{-T}，那么
|A+B| = |C(I+D)C^T| = |C| |C^T| |I+D| = |A| |I+D|
同理 |B| = |A| |D|
注意D也是正定阵，假定D的特征值是d1,...,dn，那么
|I+D| = (1+d1)...(1+dn) > 1+d1...dn = 1+|D|