设n维向量α=（a，0，…，0，a）T，a＜0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-ααT，B=E+1aααT，其中A的逆矩阵为B，则a=．

Question

设n维向量

α

=（a，0，…，0，a）^T，a＜0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-

α

α

^T，B=E+(1)/(a)

α

α

^T，其中A的逆矩阵为B，则a=______．

Answer 1

由题设，有AB＝(E−ααT)(E+(1)/(a)ααT)
=E−ααT+(1)/(a)ααT−(1)/(a)ααT•ααT
=E−ααT+(1)/(a)ααT−(1)/(a)α(αTα)αT
=E−ααT+(1)/(a)ααT−2aααT
=E+(−1−2a+(1)/(a))ααT＝E，
于是有  −1−2a+(1)/(a)＝0，
即  2a²+a-1=0，解得 a＝(1)/(2)，a＝−1．
由于A＜0，故a=-1．