用定义法求定积分∫（a,b）2xdxa在下b在上

Question

用定义法求定积分∫（a,b）2xdx
a在下b在上

Answer 1

x连续,故可积.分区间[a.b]n等分.选右端点a+k(b-a)/n, 由定积分定义：
∫(a,b)2xdx=2∫(a,b)xdx
=2lim∑(k=1,n)[a+k(b-a)/n](b-a)/n
=2lim[a(b-a)+(b-a)^2/n^2∑(k=1,n)k]
=2lim[a(b-a)+(b-a)^2/n^2[n(n+1)/2]]
=2ab-2a^2+b^2-2ab+a^2
=b^2-a^2