设ab属于R,且a不等于2,定义在区间（-b,b）内的函数f（x）=lg1+ax/1+2x是奇函数.（1）求b的取值范围（2）讨论函数f（x）的单调性

Question

设ab属于R,且a不等于2,定义在区间（-b,b）内的函数f（x）=lg1+ax/1+2x是奇函数.
（1）求b的取值范围
（2）讨论函数f（x）的单调性

Answer 1

0＜b＜1/2,减函数
1、f(-x)＝lg[(1－ax)/(1－2x)]＝－f(x)＝－lg[(1＋ax)/(1＋2x)]
所以,[(1－ax)/(1－2x)]×[(1＋ax)/(1＋2x)]＝1,得1－4x^2＝1－a^2x^2,所以a^2＝4,a≠2,所以a＝－2
f(x)＝lg[(1－2x)/(1＋2x)]的定义域是(－1/2,1/2),所以当0＜b＜1/2时,f(x)在区间(-b,b)内是奇函数
2、只考虑(0,1/2)内的单调性即可
(1－2x)/(1＋2x)＝2/(1＋2x)－1,
因为y＝1＋2x是增函数,y＝1/x是减函数,所以2/(1＋2x)在(0,1/2)内是减函数,所以(1－2x)/(1＋2x)是减函数
y＝lgx在(0,1/2)内是增函数,所以f(x)＝lg[(1－2x)/(1＋2x)]在(0,1/2)内单调减少
又f(x)是奇函数,所以f(x)在(－b,b)内单调减少