证明：一个环只有两个理想那么它是域怎么证明?

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证明：一个环只有两个理想那么它是域
怎么证明?

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答案和解析

如果前提是有1的交换环,那么结论是成立的(讨论环的理想时,常有此前提).
在此前提下,只要证明环中的非零元均可逆,就能证明这个环是域.
事实上,若环中存在不可逆的非零元,考虑由它生成的理想.
该理想包含非零元,故不是零理想.
因为生成元不可逆,该理想不包含1,故不是单位理想.
于是环中至少有三个理想,矛盾.
即得该环中非零元均可逆,这个环是域.

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