求问球面积体积公式证法.还有详细的讲讲割圆术.公式是用类似于微积分的那个证法证明的吧

Question

求问球面积体积公式证法.还有详细的讲讲割圆术.
公式是用类似于微积分的那个证法证明的吧

Answer 1

让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转,得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2.求球的表面积.
以x为积分变量,积分限是[－R,R].
在[－R,R]上任取一个子区间[x,x+△x],这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds,ds是弧长.
所以球的表面积S＝∫2π×y×√(1+y'^2)dx,整理一下即得到S＝4πR^2 球的体积公式的推导
基本思想方法：
先用过球心 的平面截球 ,球被截面分成大小相等的两个半球,截面⊙ 叫做所得半球的底面．
（l）第一步：分割．
用一组平行于底面的平面把半球切割成 层．
（2）第二步：求近似和．
每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”,我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积,它们的和就是半球体积的近似值．
（3）第三步：由近似和转化为精确和．
当 无限增大时,半球的近似体积就趋向于精确体积