已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长和短轴长之差是2√2-2,且右焦点F到此椭圆的一个短轴端点的的距离为√2,点C(m,0)是线段OF上的一个动点（O为坐标原点）1、求椭圆方程2、是否存在过点F且

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长和短轴长之差是2√2-2,
且右焦点F到此椭圆的一个短轴端点的的距离为√2,点C(m,0)是线段OF上的一个动点（O为坐标原点）
1、求椭圆方程
2、是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交与A、B两点,使得(向量AB+向量CB)⊥向量BA?

Answer 1

1
2a-2b=2√2-2
√(b^2+c^2)=a=√2
2b=2a-2√2+2=2,b=1
椭圆方程：
x^2/2+y^2=1
c=1
2
F(1,0)
A(x1,y1)B(x2,y2)直线AB：y=k(x-1)
x^2/2+y^2=1
x^2/2+k^2(x-1)^2=1
(1/2+k^2)x^2+(-2k^2)x+(k^2-1)=0
x1+x2=2k^2/(1/2+k^2)
x1x2=(k^2-1)/(1/2+k^2)
y1+y2=k(x1+x2)-2k
y1y2=k^2(x1-1)(x2-1)=k^2x1x2-k^2(x1+x2)+k^2
向量AB(x1+x2,y1+y2) +向量CB（x2+1,y2)=向量m(x1+2x2+1,y1+2y2)
向量AB(x1+x2,y1+y2)
向量m*向量AB=(x1+2x2+1)*(x1+x2)+(y1+2y2)(y1+y2)
=(x1+x2)^2+(x1+x2)+x2(x1+x2)+ (y1+y2)^2+y2(y1+y2)
=(x1+x2)^2+(x1+x2)+x2(x1+x2)+k^2[(x1+x2)-2]^2+k^2x1x2-k^2(x1+x2)+k^2+y2^2
=(k^2+1)(x1+x2)^2+(1-k^2-4k^2)(x1+x2)+(1+k^2)x1x2+x2^2+y2^2+k^2+4k^2
=(k^2+1)(x1+x2)^2+(1-5k^2)(x1+x2)+(1+k^2)x1x2+x2^2+y2^2+5k^2
(1-5k^2)(x1+x2)+(1+k^2)x1x2=[(1-5k^2)*2k^2 + (1+k^2)(k^2-1)]/(1/2+k^2)
=(2k^2-10k^4+k^4-1)/(1/2+k^2)
=(2k^2-9k^4-1)/(1/2+k^2)
=(2k^2-9k^4+1)(1/2+k^2)/(1/2+k^2)^2
=(2k^2-9k^6-(5/2)k^4+1/2)/(1/2+k^2)^2
5k^2*(1/2+k^2)^2=(5k^2/4+5k^4+5k^6)/(1/2+k^2)^2
(k^2+1)(x1+x2)^2=(k^2+1)*4k^2/(1/2+k^2)^2=(4k^6+4k^2)/(1/2+k^2)^2
向量m*向量AB
=(4k^6+5k^6-9k^6+5k^4-(5/2)k^4+5k^2/4+4k^2+2k^2+1/2)/(1/2+k^2)^2+x2^2+y2^2
=[(5/2)k^4+29k^2/4+1/2] / (1/2+k^2)^2+x2^2+y2^2 >0
因此不存在直线l使得（向量AB+向量CB）垂直向量AB