如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且AB与n=(2，-1)共线．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且

Question

如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且

AB

与

n

=(

2

，-1) 共线．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为 (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1 (a＞b＞0) ，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴

AB

=(-a，b) ，
∵

AB

与

n

=(

2

，-1) 共线，
∴ a=

2

b ，又a ² -b ² =1（3分）
∴a ² =2，b ² =1，
∴椭圆E的标准方程为 (x2)/(2) + y 2 =1 （5分）
（Ⅱ）设P（x ₁ ，y ₁ ），Q（x ₂ ，y ₂ ），
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程 (x2)/(2) + y 2 =1 ，
消去y，得，（2k ² +1）x ² +4kmx+2m ² -2=0，
∴ x 1 + x 2 =-(4km)/(2 k2 +1) ， x 1 x 2 =(2 m2 -2)/(2 k2 +1) （7分）
△=16k ² m ² -4×（2k ² +1）（2m ² -2）=16k ² -8m ² +8＞0（*）                 （8分）
∵原点O总在以PQ为直径的圆内，
∴

OP

•

OQ

＜0 ，即x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ ＜0（9分）
又 y 1 y 2 =(k x 1 +m)(k x 1 +m)= k 2 x 1 x 2 +mk( x 1 + x 2 )+ m 2 =(m2 -2 k2)/(2 k2 +1)
由 (m2 -2 k2)/(2 k2 +1) +(2 m2 -2)/(2 k2 +1) ＜0 得 m 2 ＜(2)/(3) k 2 +(2)/(3) ，
依题意 m 2 ＜(2)/(3) 且满足（*）       （11分）
故实数m的取值范围是 (-(6)/(3) ，(6)/(3) ) （12分）