（2013•武汉）如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．（1）若直线m的解析式为y=-12x+32，求A，B两点的坐标；（2）①若点P的坐标为（-2，t）．当PA=AB时

Question

（2013•武汉）如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x²于A、B两点．
（1）若直线m的解析式为y=-(1)/(2)x+(3)/(2)，求A，B两点的坐标；
（2）①若点P的坐标为（-2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；
②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．
（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵点A、B是抛物线y=x²与直线y=-(1)/(2)x+(3)/(2)的交点，
∴x²=-(1)/(2)x+(3)/(2)，
解得x=1或x=-(3)/(2)．
当x=1时，y=1；当x=-(3)/(2)时，y=(9)/(4)，
∴A（-(3)/(2)，(9)/(4)），B（1，1）．

（2）①∵点P（-2，t）在直线y=-2x-2上，∴t=2，∴P（-2，2）．
设A（m，m²），如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．

∵PA=AB，
∴AE是梯形PGFB的中位线，
∴GE=EF，AE=(1)/(2)（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=2+m，EO=-m
∴OF=|2+m-（-m）|=|2+2m|
∴OF=2m+2，
∵AE=(1)/(2)（PG+BF），∴BF=2AE-PG=2m²-2．
∴B（2+2m，2m²-2）．
∵点B在抛物线y=x²上，
∴2m²-2=（2+2m）²
解得：m=-1或-3，
当m=-1时，m²=1；当m=-3时，m²=9
∴点A的坐标为（-1，1）或（-3，9）．
②设P（a，-2a-2），A（m，m²）．
如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．
与①同理可求得：B（2m-a，2m²+2a+2）．
∵点B在抛物线y=x²上，
∴2m²+2a+2=（2m-a）²
整理得：2m²-4am+a²-2a-2=0．
△=16a²-8（a²-2a-2）=8a²+16a+16=8（a+1）²+8＞0，
∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根．即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A，使得PA=AB成立．

（3）∵△AOB的外心在边AB上，∴AB为△AOB外接圆的直径，∴∠AOB=90°．
设A（m，m²），B（n，n²），
如答图2所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．

∴(AE)/(OF)＝(OE)/(BF)，即(m2)/(n)＝(−m)/(n2)，整理得：mn（mn+1）=0，
∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=-1．
设直线m的解析式为y=kx+b，联立<

相关问答

• 若A(-13/4,y1),B(-5/4,y2),C
• 函数f（x）=（x2-ax+2a）ln（x+1）的
• 5（a2b-3ab2）-2（a2b-7ab2）．
• 设z=f（exsiny，x2+y2），其中f具有二
• 1.一只莲花高出水面一米,后被风吹倒,花朵落在水面
• 详细讲解为什么假设c=mb2+n,（2013
• 已知不等式mx^2-2x+m-2
• 化学题2题.急1.若二氧化碳中混有一氧化碳,为除去
• 不等式ax2+4x+a＞1-2x2对一切x∈R恒成
• 设limx→0ln(1+x)−(ax+bx2)x2
• 设r=x2+y2+z2，则div（gradr）|（
• 有两个杯子一个是7两一个是11两怎么算出2两来

首页　　　 语文　　　 数学　　　 英语　　　 物理　　　 化学　　　 历史　　　 政治　　　 生物　　　 其他　　　 　

Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved　版权所有 作业搜　
本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail]
湘ICP备12012010号

y＝kx+b

y＝x2