（2013•河南模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（62，32）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：1|OA|2+1

Question

（2013•河南模拟）已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（(√(6))/(2)，(√(3))/(2)）两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：(1)/(|OA|2)+(1)/(|OB|2)+(2)/(|OM|2)为定值．

Answer 1

解析（Ⅰ）将（1，1）与（(√(6))/(2)，(√(3))/(2)）两点代入椭圆C的方程，
得

(1)/(a2)+(1)/(b2)＝1

(3)/(2a2)+(3)/(4b2)＝1

解得

a2＝3

b2＝(3)/(2)

．
∴椭圆PM₂的方程为(x2)/(3)+(2y2)/(3)＝1．
（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时
(1)/(|OA|2)+(1)/(|OB|2)+(2)/(|OM|2)=(1)/(b2)+(1)/(b2)+(2)/(a2)＝2((1)/(a2)+(1)/(b2))＝2．
同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时
(1)/(|OA|2)+(1)/(|OB|2)+(2)/(|OM|2)=(1)/(a2)+(1)/(a2)+(2)/(b2)＝2((1)/(a2)+(1)/(b2))＝2．
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），
则直线OM的方程为y＝−(1)/(k)x，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y＝kx

(x2)/(3)+(2y2)/(3)＝1

解得

x

2 1

＝(3)/(1+2k2)，

y

2 1

＝(3k2)/(1+2k2)，
∴|OA|2＝|OB|2＝

x

2 1

+

y

2 1

=(3(1+k2))/(1+2k2)，同理|OM|2＝(3(1+k2))/(2+k2)，
所以(1)/(|OA|2)+(1)/(|OB|2)+(2)/(|OM|2)=2×(1+2k2)/(3(1+k2))+(2(2+k2))/(3(1+k2))=2，
故(1)/(|OA|2)+(1)/(|OB|2)+(2)/(|OM|2)=2为定值．