已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），椭圆上一点A(−1，−32)到其两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的标准方程．（2）如果斜率为12的直线与椭圆交于E，F两点，试判断直线AE，AF的斜率之和是

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），椭圆上一点A(−1，−(3)/(2))到其两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）如果斜率为(1)/(2)的直线与椭圆交于E，F两点，试判断直线AE，AF的斜率之和是否为定值？若是，求出其定值．若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）∵椭圆上一点A(−1，−32)到其两焦点的距离之和为4，∴2a=4，1a2+94b2＝1，∴a=2，b=3，∴椭圆C的标准方程为x24+y23＝1；（2）设直线EF的方程为：y=12x+m，代入x24+y23＝1得：x2+mx+m2-3=0．△=m2-4（m2-3）＞0...