已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，且椭圆经过点A（0，-1）（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如果过点H（0，35）的直线与椭圆E交于M、N两点（点M、N与点A不重合）．①若△AMN是以MN为

Question

已知椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(2)，且椭圆经过点A（0，-1）
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）如果过点H（0，(3)/(5)）的直线与椭圆E交于M、N两点（点M、N与点A不重合）．
①若△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求直线MN的方程；
②在y轴是否存在一点B，使得

BM

⊥

BN

，若存在求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(2)，且椭圆经过点A（0，-1），
∴

b＝1

e＝(c)/(a)＝(√(3))/(2)

a2＝b2+c2

，解得a=2，b=1c=√(3)，
∴曲线E的方程为(x2)/(4)+y2＝1．
（Ⅱ）①若过点H的直线斜率不存在，此时M，N两点吸一个点与A点重合，不满足题意，
∴直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则MN的方程为y=kx+(3)/(5)，
把y=kx+(3)/(5)代入椭圆方程，得：
（1+4k²）x²+(24)/(5)kx-(64)/(25)=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），
则x1+x2＝−(24k)/(5(1+4k2))，x₁x₂=-(64)/(25(1+4k2))，
x0＝(x1+x2)/(2)=-(12k)/(5(1+4k2))，y0＝kx0+(3)/(5)=(3)/(5(1+4k2))．
AP⊥MN，且P（-(12k)/(5(1+4k2))，(3)/(5(1+4k2))），
若k=0，则P（0，(3)/(5)），显然满足AP⊥MN，此时直线MN的方程为y=(3)/(5)；
k≠0，则k_AP=-(20k2+8)/(12k)=-(1)/(k)，解得k=±(√(5))/(5)，
∴直线MN的方程为y=±(√(5))/(5)x+(3)/(5)，
即√(5)x−5y+3＝0或√(5)x+5y−3＝0，
综上所述：直线MN的方程为y=(3)/(5)或√(5)x+5y−3＝0．
②假设存在点B（0，t），满足

BM

⊥

BN

，

BM

＝(x1，y1−t)，

BN

＝(x2，y2−t)，

BM

•

BN

=x₁x₂+y₁y₂-t（y₁+y₂）+t²
=-(64)/(25(1+4k2))+(−100k2+9)/(25(1+4k2))-(6t)/(5(1+4k2))+t2
=((100t2−100)k2+(25t2−30t−55))/(25(1+4k2))=0，
∴

100t2−100＝0

25t2−30t−55＝0

，解得t=-1．
∴存在B（0，-1），使得

BM

⊥

BN

．