已知，椭圆C过点A(1，32)，两个焦点为（-1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出

Question

已知，椭圆C过点A(1，(3)/(2))，两个焦点为（-1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，c=1，
可设椭圆方程为(1)/(1+b2)+(9)/(4b2)=1，
解得b²=3，b2=-(3)/(4)（舍去）
所以椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)=1．
（Ⅱ）设直线AE方程为：y=k(x-1)+(3)/(2)，
代入(x2)/(4)+(y2)/(3)=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4((3)/(2)-k)2-12=0
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），
因为点A(1，(3)/(2))在椭圆上，
所以xE=(4((3)/(2)-k)2-12)/(3+4k2)，yE=kxE+(3)/(2)-k．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以-K代K，可得xF=(4((3)/(2)+k)2-12)/(3+4k2)，yF=-kxF+(3)/(2)+k
所以直线EF的斜率KEF=(yF-yE)/(xF-xE)=(-k(xF+xE)+2k)/(xF-xE)=(1)/(2)
即直线EF的斜率为定值，其值为(1)/(2)．