设椭圆M:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0)的离心率与双曲线x^2-y^2=1的离心率互为倒数且内切与圆x^2+y^2=4...设椭圆M:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0)的离心率与双曲线x^2-y^2=1的离心率互为倒数且内切与圆x^2+y^2=41.求椭

Question

设椭圆M:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0)的离心率与双曲线 x^2-y^ 2=1的离心率互为倒数且内切与圆x^2+y^2=4 ...
设椭圆M:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0)的离心率与双曲线 x^2-y^ 2=1的离心率互为倒数且内切与圆x^2+y^2=4
1.求椭圆M的方程
2.若直线y=根号2x+m交椭圆与A 、B两点,椭圆上一点P（1,根号2）,求△PAB面积的最大值

Answer 1

双曲线x²－y²=1的离心率是√2,则椭圆的离心率e=√2/2,圆x²＋y²=4的半径是R=2,则：
a=2,c=√2,所以b²=a²－c²=2,得椭圆方程是：x²/4＋y²/2=1
直线y=√2x＋m代入椭圆中,化简,得：
5x²＋4√2mx＋2m²－4=0
x1＋x2=－4√2m/5,x1x2=－4/5
|AB|=[√(1＋k²)]×|x1－x2|=[√(240－24m²)]/5
点P到直线AB的距离d=|m|/√3
则：S=(1/2)×d×|AB|=(1/10)√[80m²－8(m²)²]=(1/10)√[－8(m²－5)²＋200]
则S的最大值是(1/10)√200=√2,此时m²=5,即m=±√5