已知：如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，以3为半径的⊙B与y轴相切，直线l过点A（-2，0），且和⊙B相切，与y轴相交于点C．（1）求直线l的解析式；（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过

Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，以3为半径的⊙B与y轴相切，直线l过点A（-2，0），且和⊙B相切，与y轴相交于点C．
（1）求直线l的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过点O和B，顶点在⊙B上，求抛物线的解析式；
（3）若点E在直线l上，且以A为圆心，AE为半径的圆与⊙B相切，求点E的坐标．

Answer 1

（1）过B作BD垂直l交于点D，
∵⊙B与l相切，
∴BD=3，
在Rt△ADB中，AB=5，AD＝√((5)2−(3)2)＝4，
在Rt△ACO、Rt△ADB中，cot∠CAO=(4)/(3)，
∵AO=2，
∴CO=1.5．
设直线l的解析式为y=kx+1.5，A（-2，0）代入
得k＝(3)/(4)，
∴y＝(3)/(4)x+1.5；

（2）过OB的中点F作HF垂直于x轴交⊙B于点H，连接BH．
∵在Rt△HFB中，BH=3，BF=1.5，
HF＝√((3)2−(1.5)2)＝(3)/(2)√(3)，
∴H((3)/(2)，−(3)/(2)√(3))，
将O（0，0）、B（3，0）、H((3)/(2)，−(3)/(2)√(3))代入y=ax²+bx+c（a＞0），
得y＝(2)/(3)√(3)x2−2√(3)x；

（3）当两圆外切时，AE=2，
作EN⊥x轴于点N．则△AEN∽△ABD，
∴(EN)/(BD)=(AE)/(AB)，即(EN)/(3)=(2)/(5)，解得：EN=(6)/(5)，
把y=(6)/(5)代入y=(3)/(4)x+1.5得：x=-(2)/(5)，则E的坐标是：（-(2)/(5)，(6)/(5)），
同理，当E在A的左侧时坐标是：（-(18)/(5)，-(6)/(5)）；
当两圆内切时，AE=8，同上可求得：E（(22)/(5)，(24)/(5)）或（-(42)/(5)，-(24)/(5)）．