已知椭圆x^2/3+y^2=1的离心率为3分之根号6,左右焦点为f1,f2,点p为椭圆上任意一点直线l经过点f2,倾斜角为45度,与椭圆交与A,B两点..若存在λ,μ使得向量OP=λ倍的向量OA+μ倍的向量OB,试着确定λ,μ的

Question

已知椭圆x^2/3+y^2=1的离心率为3分之根号6,左右焦点为f1,f2,点p为椭
圆上任意一点直线l经过点f2,倾斜角为45度,与椭圆交与A,B两点
..若存在λ,μ使得向量OP=λ
倍的向量OA+μ倍的向量OB,试着确定λ,μ的关系式
求详解
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Answer 1

x^2/3+y^2=1,F2坐标是(根号2,0),那么直线L的方程是y=x-根号2
代入到椭圆方程中有x^2/3+(x^2-2根号2x+2)=1
4x^2-6根号2x+3=0
x1x2=3/4,x1+x2=3根号2/2
y1y2=x1x2-根号2(x1+x2)+2=3/4-3+2=-1/4
设P坐标是(x,y),则有(x,y)=入(x1,y1)+u(x2,y2)
x=入x1+ux2
y=入y1+uy2
x^2/3+y^2=1
(入x1+ux2)^2/3+(入y1+uy2)^2=1
(入^2X1^2+2入ux1x2+u^2x2^2)/3+(入^2Y1^2+2入uy1y2+u^2y2^2)=1
入^2(x1^2/3+y1^2)+u^2(x2^2/3+y2^2)+2/3入u(x1x2+3y1y2)=1
即有入^2+u^2+2/3入u(3/4-3/4)=1
即有入^2+u^2=1