已知圆C：x2+y2-6x-8y+21=0，直线l过定点A（1，0）．（1）求圆心C的坐标和圆的半径r；（2）若l与圆C相切，求l的方程；（3）若l与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ面积的最大值，并求此时l的直线

Question

已知圆C：x²+y²-6x-8y+21=0，直线l过定点A（1，0）．
（1）求圆心C的坐标和圆的半径r；
（2）若l与圆C相切，求l的方程；
（3）若l与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ面积的最大值，并求此时l的直线方程．

Answer 1

（1）将圆的方程化为标准方程得：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴圆心C（3，4），半径r=2；
（2）当直线l斜率不存在时，直线x=1满足题意；
当斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
根据题意得：圆心C到直线l的距离d=r，即(|3k-4-k|)/(√(k2+1))=2，
解得：k=(3)/(4)，
此时直线l方程为3x-4y-3=0，
综上，直线l方程为x=1或3x-4y-3=0；
（3）设直线l方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∵S_△PCQ=(1)/(2)|CP|•|CQ|sinC=2sinC，
∴△PCQ面积最大，即为sinC最大，即sinC=1，
∴∠C=90°，
∴△PCQ为等腰直角三角形，
∴|PQ|=2√(2)，
∴圆心C到直线l的距离d=√(2)=(|3k-4-k|)/(√(k2+1))，
解得：k=1或k=7，
则直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0．