设三阶实对称矩阵A的三个特征值是-1,1,1,特征值-1对应的特征向量是（0,1,1）求特征值1对应的特征向量和矩阵A.

Question

设三阶实对称矩阵A的三个特征值是-1,1,1,特征值-1对应的特征向量是（0,1,1）求特征值1对应的特征向量和矩阵A.

Answer 1

由实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
所以若设x=(x1,x2,x3)^T 是A的属于特征值1的特征向量,则有
x2+x3=0
得基础解系 a2=(1,0,0)^T,a3=(0,1,-1)^T.
记a1=(0,1,1)^T
令P=(a1,a2,a3),则P可逆,且 P^-1AP = diag(-1,1,1)
所以 A = Pdiag(-1,1,1)P^-1 =
1 0 0
0 0 -1
0 -1 0