​设A为三阶矩阵,a1a2a3是线性无关的三维列向量,且满足Aa1=a1+a2+a3,设A为三阶矩阵,a1a2a3是线性无关的三维列向量,且满足Aa1=a1+a2+a3,Aa2=2a2+a3,Aa3=3a3（1）求矩阵,使得A(a1,a2,a3)=(a1,a2,a3)B（2）求

Question

​设A为三阶矩阵,a1 a2 a3是线性无关的三维列向量,且满足Aa1=a1+a2+a3,
设A为三阶矩阵,a1 a2 a3是线性无关的三维列向量,且满足Aa1=a1+a2+a3,Aa2=2a2+a3,Aa3=3a3
（1）求矩阵,使得A(a1,a2,a3)=(a1,a2,a3)B
（2）求矩阵A的特征值；
（3）求可逆矩阵p,使得P-1 AP为对角矩阵.

Answer 1

由观察，可得：
A（a2+a3)= 4(a2+a3)
A(2a2-a3)=2a2-a3
A(a1-a2)=a1-a2
设 b1=a1-a2, b2=2a2-a3, b3=a2+a3
b2+b3=3a2 ==> a2 可以由{bi,i=1,2,3}表示 ==》 a1=b1+a2 可以由{bi,i=1,2,3}表示,
a3=b2+2a2 可以由{bi,i=1,2,3}表示
又 a1,a2,a3线性无关, ===》 b1,b2,b3 线性无关。
且
A(b1,b2,b3)=(b1,b2,b3)diag(1,1,4)

令 B=(b1,b2,b3)， 有
AB=Bdiag(1,1,4)
==》 B^(-1)AB=diag(1,1,4)
所以 取P=B=(a1-a2,2a2-a3,a2+a3) 即可。