设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx，其矩阵A满足A3=A，且|A|＞0，trA＜0，则此二次型的规范形为（）A．z12+z22+z32B．z12+z22-z32C．z12-z22-z32D．-z12-z22-z32

Question

设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx，其矩阵A满足A³=A，且|A|＞0，trA＜0，则此二次型的规范形为（　　）

A．z₁²+z₂²+z₃²
B．z₁²+z₂²-z₃²
C．z₁²-z₂²-z₃²
D．-z₁²-z₂²-z₃²

Answer 1

因为已知二次型矩阵A满足
        A³=A
        A³-A=0
        A（A²-1）=0
又  

.

A

.

＞0，
所以A²-1=0，
A=±1，
所以可以知矩阵A的特征值为±1，
又trA＜0，
所以三个特征值（正负惯性指数）之和小于零，
再四个选项，知合乎题意的只有C．
故选：C．