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设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx，其矩阵A满足A3=A，且|A|＞0，trA＜0，则此二次型的规范形为（）A．z12+z22+z32B．z12+z22-z32C．z12-z22-z32D．-z12-z22-z32
题目详情
设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx，其矩阵A满足A3=A，且|A|＞0，trA＜0，则此二次型的规范形为（ ）
A．z12+z22+z32
B．z12+z22-z32
C．z12-z22-z32
D．-z12-z22-z32
A．z12+z22+z32
B．z12+z22-z32
C．z12-z22-z32
D．-z12-z22-z32
▼优质解答
答案和解析
因为已知二次型矩阵A满足
A3=A
A3-A=0
A（A2-1）=0
又
＞0，
所以A2-1=0，
A=±1，
所以可以知矩阵A的特征值为±1，
又trA＜0，
所以三个特征值（正负惯性指数）之和小于零，
再四个选项，知合乎题意的只有C．
故选：C．
A3=A
A3-A=0
A（A2-1）=0
又
|
所以A2-1=0，
A=±1，
所以可以知矩阵A的特征值为±1，
又trA＜0，
所以三个特征值（正负惯性指数）之和小于零，
再四个选项，知合乎题意的只有C．
故选：C．
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