如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

Question

如图，设点A和B为抛物线y ² =4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

Answer 1

如图，点A，B在抛物线 上，
设 ，OA、OB的斜率分别为 ，
∴ ，
由OA⊥AB，得 ， ①
依点A在AB上，得直线AB方程 ， ②
由OM⊥AB，得直线OM方程 ，③
设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以 ，
并利用③式整理得 ， ④
由③、④两式得 ，
由①式知， ，
∴ ，
因为A、B是原点以外的两点，
所以x≠0，
所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。