设双曲线C的中心在原点，以抛物线y2＝23x−4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（1）试求双曲线C的方程；（2）设直线l：y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|；（3）

Question

设双曲线C的中心在原点，以抛物线y2＝2√(3)x−4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．
（1）试求双曲线C的方程；
（2）设直线l：y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|；
（3）对于直线L：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使直线L与双曲线C的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

问题解析

（1）由抛物线y²=2√(3)x-4，即y²=2√(3)（x-(2)/(√(3))），可知抛物线顶点为（(2)/(√(3))，0），准线方程为x=(√(3))/(6)．在双曲线C中，中心在原点，右焦点（(2)/(√(3))，0），右准线x=(√(3))/(6)，由此能求出双曲线C的方程．
（2）由

y＝2x+1

3x2−y2＝1

，知3x²-（2x+1）²=1，由此能求出|AB|．
（3）设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

ka＝−1①

y1+y2＝k(x1+x2)+2②

(y1+y2)/(2)＝a•(x1+x2)/(2)③

，由此能够推导出不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评：

本题考查双曲线方程的求法、求弦长和判断是否存在存在满足条件的实数k．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．