设双曲线C的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．(1)试求双曲线C的方程；(2)设直线l：y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|；(3)对于直线L：y=kx+

Question

设双曲线C的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． (1)试求双曲线C的方程； (2)设直线l：y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|； (3)对于直线L：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使直线L与双曲线C的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．____

设双曲线C的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． (1)试求双曲线C的方程； (2)设直线l：y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|； (3)对于直线L：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使直线L与双曲线C的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．____

Answer 1

【分析】(1)由抛物线y²=2x-4，即y²=2(x-)，可知抛物线顶点为(，0)，准线方程为x=．在双曲线C中，中心在原点，右焦点(，0)，右准线x=，由此能求出双曲线C的方程．\n(2)由，知3x²-(2x+1)²=1，由此能求出|AB|．\n(3)设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称，设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则，由此能够推导出不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．

(1)由抛物线y²=2x-4，即y²=2(x-)，可知抛物线顶点为(，0)，准线方程为x=．\n在双曲线C中，中心在原点，右焦点(，0)，\n右准线x=，\n∴⇒\n∴双曲线C的方程3x²-y²=1\n(2)由⇒3x²-(2x+1)²=1⇒x²+4x+2=0∴|AB|=2\n(3)假设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称，设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则\n由⇒\n由②③，有a(x₁+x₂)=k(x₁+x₂)+2 ⑤\n由④知：x₁+x₂=代入⑤\n整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．

【点评】本题考查双曲线方程的求法、求弦长和判断是否存在存在满足条件的实数k．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．

【分析】(1)由抛物线y²=2x-4，即y²=2(x-)，可知抛物线顶点为(，0)，准线方程为x=．在双曲线C中，中心在原点，右焦点(，0)，右准线x=，由此能求出双曲线C的方程．\n(2)由，知3x²-(2x+1)²=1，由此能求出|AB|．\n(3)设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称，设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则，由此能够推导出不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．

【分析】【分析】(1)由抛物线y²2=2x-4，即y²2=2(x-)，可知抛物线顶点为(，0)，准线方程为x=．在双曲线C中，中心在原点，右焦点(，0)，右准线x=，由此能求出双曲线C的方程．\n(2)由，知3x²2-(2x+1)²2=1，由此能求出|AB|．\n(3)设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称，设A(x₁1，y₁1)、B(x₂2，y₂2)，则，由此能够推导出不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．

(1)由抛物线y²=2x-4，即y²=2(x-)，可知抛物线顶点为(，0)，准线方程为x=．\n在双曲线C中，中心在原点，右焦点(，0)，\n右准线x=，\n∴⇒\n∴双曲线C的方程3x²-y²=1\n(2)由⇒3x²-(2x+1)²=1⇒x²+4x+2=0∴|AB|=2\n(3)假设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称，设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则\n由⇒\n由②③，有a(x₁+x₂)=k(x₁+x₂)+2 ⑤\n由④知：x₁+x₂=代入⑤\n整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．

(1)由抛物线y²2=2x-4，即y²2=2(x-)，可知抛物线顶点为(，0)，准线方程为x=．\n在双曲线C中，中心在原点，右焦点(，0)，\n右准线x=，\n∴⇒\n∴双曲线C的方程3x²2-y²2=1\n(2)由⇒3x²2-(2x+1)²2=1⇒x²2+4x+2=0∴|AB|=2\n(3)假设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称，设A(x₁1，y₁1)、B(x₂2，y₂2)，则\n由⇒\n由②③，有a(x₁1+x₂2)=k(x₁1+x₂2)+2 ⑤\n由④知：x₁1+x₂2=代入⑤\n整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．

【点评】本题考查双曲线方程的求法、求弦长和判断是否存在存在满足条件的实数k．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．

【点评】【点评】本题考查双曲线方程的求法、求弦长和判断是否存在存在满足条件的实数k．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．