（2012•南充）在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ的中点,把一三角尺的直角顶点放在点M处,以M为旋转中心,旋转三角尺,三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．（1）求证：MA=MB；（2）连接

Question

（2012•南充）在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ的中点,把一三角尺的直角顶点放在点M处
,以M为旋转中心,旋转三角尺,三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．（1）求证：MA=MB；（2）连接AB,探究：在旋转三角尺的过程中,△AOB的周长是否存在最小值?若存在,求出最小值

Answer 1

（1）连接OM,由Rt△POQ中,OP=OQ=4,
M是PQ的中点可得OM=PM=1/2PQ=2√2
∠POM=∠BOM=∠P=45° ,即得∠PMA=∠OMB
根据角边角可以得知
△MPA≌△MOB
∴MA=MB
（2）△AOB的周长存在最小值
理由是:
△PMA≌△OMB
∴PA=OB,∴OA+OB=OA+PA=OP=4
令OA=x,AB=y
则y²=x2+(4-x)²=2x²-8x+16=2(x-2)²+8≥8
当x=2时y²有最小值=8从而y≥2√2
所以⊿AOB的周长存在最小值为4+2√2