如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3m，AD＝2m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2，AN的长应在什么范围内？

Question

如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m ² ，AN的长应在什么范围内？
(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）在(2， )或(8，＋∞)内
（2）AM＝6，AN＝4时，S _min ＝24.

(1)设AM＝x，AN＝y(x>3，y>2)，矩形AMPN的面积为S，则S＝xy.
∵△NDC∽△NAM，∴ ＝ ，∴x＝ ，
∴S＝  (y>2)．
由 >32，得2<y< ，或y>8，
∴AN的长度应在(2， )或(8，＋∞)内．
(2)当y>2时，S＝ ＝3(y－2＋ ＋4)≥3×(4＋4)＝24，
当且仅当y－2＝ ，
即y＝4时，等号成立，解得x＝6.
∴存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，S _min ＝24.