（2013•内江）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x-5=0的两根．（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值

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（2013•内江）已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，与y轴交于点C，x₁，x₂是方程x²+4x-5=0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S_△ABC：S_△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．

▼优质解答

答案和解析

（1）解方程x²+4x-5=0，得x=-5或x=1，
由于x₁＜x₂，则有x₁=-5，x₂=1，∴A（-5，0），B（1，0）．
抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x-1）（a＞0），
∴对称轴为直线x=-2，顶点D的坐标为（-2，-9a），
令x=0，得y=-5a，
∴C点的坐标为（0，-5a）．
依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，
过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE-OC=4a．
S_△ACD=S_梯形ADEO-S_△CDE-S_△AOC
=

（DE+OA）•OE-

DE•CE-

OA•OC
=

（2+5）•9a-

×2×4a-

×5×5a
=15a，
而S_△ABC=

AB•OC=

×6×5a=15a，
∴S_△ABC：S_△ACD=15a：15a=1：1；

（2）如解答图，过点D作DE⊥y轴于E
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD²=DE²+CE²=4+16a²，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²=OA²+OC²=25+25a²，
设对称轴x=-2与x轴交于点F，则AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD²=AF²+DF²=9+81a²．
∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，
由勾股定理得：AD²+CD²=AC²，
即（9+81a²）+（4+16a²）=25+25a²，化简得：a²=

，
∵a＞0，
∴a=

，
∴抛物线的解析式为：y=

（x+5）（x-1）=

x²+