已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，−2)．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）

Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜(π)/(2)）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为(π)/(2)，且图象上一个最低点为M((2π)/(3)，−2)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[(π)/(12)，(π)/(2)]，求f（x）的值域．

Answer 1

（1）由最低点为M((2π)/(3)，−2)得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为(π)/(2)得(T)/(2)=(π)/(2)，
即T=π，ω＝(2π)/(T)＝(2π)/(π)＝2
由点M((2π)/(3)，−2)在图象上的2sin(2×(2π)/(3)+φ)＝−2，即sin((4π)/(3)+φ)＝−1
故(4π)/(3)+φ＝2kπ−(π)/(2)，k∈Z∴φ＝2kπ−(11π)/(6)
又φ∈(0，(π)/(2))，∴φ＝(π)/(6)，故f(x)＝2sin(2x+(π)/(6))
（2）∵x∈[(π)/(12)，(π)/(2)]，∴2x+(π)/(6)∈[(π)/(3)，(7π)/(6)]
当2x+(π)/(6)=(π)/(2)，即x＝(π)/(6)时，f（x）取得最大值2；当2x+(π)/(6)＝(7π)/(6)
即x＝(π)/(2)时，f（x）取得最小值-1，
故f（x）的值域为[-1，2]