已知函数f（x）=Asin（ωx+∅），（A＞0，ω＞0，0＜∅＜π），x∈R的最大值是2，最小正周期为2π，其图象经过点M(π2，1)．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）已知a

Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+∅），（A＞0，ω＞0，0＜∅＜π），x∈R的最大值是2，最小正周期为2π，其图象经过点M((π)/(2)，1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）已知a∈((π)/(2)，π)，且f(a+(2π)/(3))=-(2)/(3)，求tan（2π-a）的值．

Answer 1

（1）由题意得：A=2，ω=(2π)/(T)=1，
所以f（x）=2sin（x+∅），
把点M（(π)/(2)，1）代入得：2sin（(π)/(2)+∅）=1，
即cos∅=(1)/(2)，又0＜∅＜π，
所以∅=(π)/(3)，f（x）=2sin（x+(π)/(3)）．
（2）令z=x+(π)/(3)．函数y=sinz的单调递减区间是：[2kπ+(π)/(2)，2kπ+(3π)/(2)]，
由2kπ+(π)/(2)≤x+(π)/(3)≤2kπ+(3π)/(2)，2kπ+(π)/(6)≤x+(π)/(3)≤2kπ+(7π)/(6)（k∈Z），
所以函数f（x）的单调减区间是[2kπ+(π)/(6)，2kπ+(7π)/(6)]（k∈Z）．
（3）f（α+(2π)/(3)）=2sin[（α+(2π)/(3)）+(π)/(3)]=2sin（α+π）=-2sinα=-(2)/(3)，
即sinα=(1)/(3)；
又因为α∈（(π)/(2)，π），所以cosα=-√(1−sin2α)=-

作业帮用户 2017-10-30 举报

问题解析

（1）依题意，可求得A，ω，把点M（(π)/(2)，1）代入f（x）=2sin（x+∅）（0＜∅＜π）可求得∅，从而可得f（x）的解析式；
（2）利用2kπ+(π)/(2)≤x+(π)/(3)≤2kπ+(3π)/(2)即可求得函数f（x）的单调减区间；
（3）利用诱导公式与同角三角函数间的基本关系可求得sinα=(1)/(3)，cosα=-(2√(2))/(3)，从而可求得tan（2π-α）．

名师点评

本题考点：

由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；正弦函数的单调性．

考点点评：

本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性与同角三角函数间的基本关系，属于中档题．

扫描下载二维码

©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议