已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（2，4），A，B为抛物线C上异于坐标原点O的两个动点，且满足OA•OB=0．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点（2p，0）；（Ⅲ）若线段AB的

Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点（2，4），A，B为抛物线C上异于坐标原点O的两个动点，且满足

OA

•

OB

=0．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点（2p，0）；
（Ⅲ）若线段AB的中垂线经过点（16，0），求线段AB的长．

Answer 1

（Ⅰ）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）经过点（2，4），
∴4p=16，解得p=4，
∴抛物线C的方程为y²=8x．
（Ⅱ）证明：设A（(y12)/(2p)，y₁），B（(y22)/(2p)，y₂），
∵

OA

•

OB

=0，∴OA⊥OB，
∴(y12y22)/(4p2)+y1y2＝0，
∴y₁y₂=-4p²，
k_AB=(y1−y2)/((y12)/(2p)−(y22)/(2p))=(2p)/(y1+y2)，
∴AB方程：y-y₁=(2p)/(y1+y2)（x-(y12)/(2p)）
当y=0时，x=2p，
∴AB过定点（2p，0）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知AB过点（8，0），
∵线段AB的中垂线经过点（16，0），
∴AB垂直于x轴，
∴x=8于y²=8x交于A，B两点，
∴A（8，-8），B（8，8），
∴线段AB的长为16．